В чем заключается метод Эйлера решения уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть задано уравнение с постоянными коэффициентами вида \large A\frac{\partial^{2} u(x,y)}{\partial x^{2}}+B\frac{\partial^{2} u(x,y)}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^{2} u(x,y)}{\partial y^{2}}=0 (уравнение Эйлера),

которому соответствует уравнение характеристик

\large A(\frac{\partial a(x,y)}{\partial x})^{2}+B\frac{\partial a(x,y)}{\partial x}\frac{\partial a(x,y)}{\partial y}+C(\frac{\partial a(x,y)}{\partial y})^{2}=0.

Заменой \large a(x,y)=kx+y уравнение характеристик приводится к квадратному уравнению \large Ak^{2}+Bk+C=0 относительно коэффициента \large k. В зависимости от величины дискриминанта рассмотрим 3 случая:

1. \large D data-recalc-dims=0" /> (уравнение гиперболического типа). Корни квадратного уравнения \large k_{1},k_{2} действительны и различны, и общее решение уравнения Эйлера имеет вид \large u(x,y)=\varphi _{1}(k_{1}x+y)+\varphi _{2}(k_{2}x+y), где \large \varphi _{1},\varphi _{2} - произвольные функции.

2. \large D<0 (уравнение эллиптического типа). Квадратное уравнение имеет комплексно сопряженные корни \large k_{1},k_{2}, и общее решение имеет тот же вид  \large u(x,y)=\varphi _{1}(k_{1}x+y)+\varphi _{2}(k_{2}x+y).

3. \large D=0 (уравнение параболического типа). Квадратное уравнение имеет один кратный корень \large k, и общее решение представляется как \large u(x,y)=\varphi _{1}(kx+y)+y\varphi _{2}(kx+y)

или \large u(x,y)=\varphi _{1}(kx+y)+x\varphi _{2}(kx+y).

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: