Лекции доц. Лосева Д.В. по курсу "Методы математической физики"

1. Основные понятия и определения

Рассматриваются основные понятия теории решения уравнений с частными производными:  виды уравнений и их решений, типы краевых условий (Коши, Дирихле, Неймана, Робена), обсуждаются проблемы существования и единственности решения и корректности краевых задач. (файл для подготовки конспекта mmf01)

2. Свойства частных решений линейных ДУсЧП

Обсуждаются различные свойства частных решений линейных уравнений с частными производными, позволяющие увеличить их количество на основе известных. Решается краевая задача Дирихле в круге r<R для двумерного уравнения Лапласа в полярной системе координат и выводится формула Пуассона. (файл для подготовки конспекта mmf02)

3. Общее решение линейного однородного ДусЧП второго порядка

Исследование условий, которым должны удовлетворять аргументы произвольных функций в общем решении приводит к уравнению характеристик. Далее, находится общее решение уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами с помощью методом Эйлера. Попутно проводится классификация уравнений с частными производными и рассматриваются основные уравнения, составляющие фундамент современной физической теории. (файл для подготовки конспекта mmf03)

4. Решение одномерного волнового уравнения методом характеристик

Рассмотрена классическая задача решения одномерного волнового уравнения методом характеристик. Исследуются частные случаи общего решения, решения задачи Коши на бесконечном интервале изменения координаты (формула Даламбера), однородной задачи Дирихле на полубесконечном и ограниченном интервалах.  на этих примерах обсуждается метод зеркальных источников. (файл для подготовки конспекта mmf04)

5. Сопряженные дифференциальные операторы

Рассматриваются понятия сопряженного и самосопряженного оператора. С использованием многомерной формулы интегрирования по частям выводится обобщенная формула Грина для этих случаев. (файл для подготовки конспекта mmf05)

6. Структура решения краевой задачи

С помощью метода функции Грина получено решение краевой задачи для произвольного самосопряженного оператора. Рассмотрены частные случаи уравнения Гельмгольца и волнового уравнения с произвольными неоднородными начальными и граничными условиями. (файл для подготовки конспекта mmf06)

7. Телеграфные уравнения

Из соображений баланса напряжений и количества заряда выводятся телеграфные уравнения. Обсуждаются решения в частных случаях линии  без потерь и линии без искажений, а также в общем случае.  (файл для подготовки конспекта mmf07)

8. Уравнения электромагнитного поля

Исходя из системы уравнений Максвелла выводятся волновые уравнения для векторов напряженностей электрического и магнитного полей, скалярного и векторного потенциалов.  (файл для подготовки конспекта mmf08)

8а. Закон сохранения энергии и уравнения Максвелла

Рассмотрена связь системы уравнений Максвелла с законом сохранения энергии. (файл для подготовки конспекта mmf08a)

9. Уравнения полупроводниковой электроники

Из условия баланса токов и концентраций носителей заряда выводится уравнение с частными производными, описывающее процессы в полупроводниковом p-n переходе. Рассматриваются упрощающие приближения: низкого уровня инжекции и диффузионное.   (файл для подготовки конспекта mmf09)

10. Уравнение Шрёдингера

После небольшого исторического экскурса с использованием волны де Бройля и закона сохранения энергии получено уравнение Шрёдингера для случая одной частицы.
(файл для подготовки конспекта mmf10)

11. Общая схема метода разделения переменных

Изложена общая схема метода разделения переменных. Повторяются основные положения теории краевых задач Штурма-Лиувилля и их применение к решению неоднородных уравнений с частными производными.  (файл для подготовки конспекта mmf11)

12. Решение двумерных задач методом разделения переменных

Приведены краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, предназначенные для самостоятельного решения методом разделения переменных.  (файл для подготовки конспекта mmf12)

13. Одномерная  дельта-функция

Обсуждаются различные свойства одномерной дельта-функции и связанных с ней обобщенных функций. (файл для подготовки конспекта mmf13)

14. Многомерная дельта-функция
 Выводятся выражения для многомерной дельта-функции в различных системах координат. (файл для подготовки конспекта mmf14)
15. Одномерная функция Грина
Рассматривается понятие одномерной функции Грина, ее использование для получения решения неоднородной задачи Штурма-Лиувилля и методы ее построения. (файл для подготовки конспекта mmf15)
16. Многомерная функция Грина

Рассматриваются различные методы построения многомерной функции Грина. Выводится формула представления двумерной функции Грина в виде контурного интеграла. (файл для подготовки конспекта mmf16)

17. Поле точечного источника в свободном пространстве

Решается классическая задача о распространении гармонической волны точечного источника. (файл для подготовки конспекта mmf17)

18. Решение волнового уравнения в свободном пространстве

Опираясь на выражение для функции Грина свободного пространства в спектральной области, получено поле точечного импульсного источника.  Получены общие формулы решения волнового уравнения различной мерности с произвольными значениями правой части и начальных условий - формулы Кирхгофа, Пуассона и Даламбера. (файл для подготовки конспекта mmf18)

19. Поле точечного источника над идеально отражающей плоскостью

Задача о поле точечного источника над идеально отражающей поверхностью решается в цилиндрической системе координат методом контурного интеграла. На основе полученного результата обсуждаются метод мнимых источников и "отражательная трактовка" теории распространения волн. (файл для подготовки конспекта mmf19)

20. Поле точечного источника вблизи конического рефлектора

Задача решается в сферической системе координат методом разделения переменных. В процессе решения используются функции Лежандра и сферические функции. (файл для подготовки конспекта mmf20)

21. Основная задача вариационного исчисления

Обсуждаются основные понятия вариационного исчисления - функционал, экстремаль, классы близости функций. Приводятся примеры вариационных принципов. (файл для подготовки конспекта mmf21)

22. Уравнение Эйлера

Для простейшей задачи вариационного исчисления выводится уравнение Эйлера - необходимое условие экстремума функционала. В качестве примера применения этого уравнения исходя из принципа Ферма выводится закон преломления луча в плоско-слоистой среде. (файл для подготовки конспекта mmf22)

23. Обобщения вариационной задачи

Проводится обобщение вариационной задачи на случаи функционалов, содержащих производные высших порядков, зависящие от нескольких функций и функции нескольких аргументов. (файл для подготовки конспекта mmf23)

24. Вариационные задачи на условный экстремум

Рассмотрено два основных типа задач на условный экстремум - задача Лагранжа и изопериметрическая задача. В качестве примера осуществляется вывод нормального распределения случайной величины из принципа максимума энтропии. (файл для подготовки конспекта mmf24)

25. Достаточные условия экстремума

Обсуждаются необходимые и достаточные условия максимума и минимума функционала - условия Лежандра и Якоби.(файл для подготовки конспекта mmf25)

26. Прямые методы

Вводится понятие прямых методов математической физики и рассматриваются простейшие из них - методы Эйлера, Ритца и Галёркина. (файл для подготовки конспекта mmf26)

Скачать конспект лекций, записанных студентом А.Г. Быковым (2013 г.):

Часть 1, Часть 2

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: