Конформные преобразования

Построение областей по заданным условиям (видеозанятие Д.В. Лосева)

Эта часть занятия - приквел к новому разделу "Конформные отображения". Полученные знания будут использованы в дальнейшем при формулировке условия задачи.

Конформные отображения с помощью линейной функции (видеозанятие Д.В. Лосева)

Изучение конформных отображений начинаем с простейшей из функций - линейной. Все, что она может сделать с исходной областью - изменить масштаб, повернуть и сместить в нужное место. Форму области она изменить не в состоянии.

Конформные отображения c помощью дробно-линейной функции: круговое свойство (видеозанятие Д.В. Лосева)

Переходим к изучению конформных отображений с помощью дробно-линейной функции. В отличие от линейной, эта функция может сильно искорежить исходную область. В теории конформных отображений эта функция является базовой, а остальные имеют лишь конкретную узкую область применения. Поэтому мы будем изучать их свойства в нескольких выпусках. Сначала учимся решать прямые задачи отображения с помощью кругового свойства.

Конформные отображения c помощью дробно-линейной функции: отображение по трем точкам (видеозанятие Д.В. Лосева)

Продолжаем работать с дробно-линейной функцией, и на очереди обратные задачи и отображение по трем точкам.

Конформные отображения c помощью дробно-линейной функции: вывод формулы отображения по трем точкам (видеозанятие Д.В. Лосева)

Выясняем подоплеку формулы построения дробно-линейной функции по трем точкам. Все просто и непросто одновременно.

Конформные отображения c помощью степенной функции (видеозанятие Д.В. Лосева)

Следующая изучаемая нами функция - степенная - имеет узкую и конкретную область применения: ее используют, если нужно изменить углы в исходной фигуре. А еще с ее помощью можно "разрезать" или "сшивать" комплексную плоскость.

Конформные отображения c помощью функции Жуковского  (видеозанятие Д.В. Лосева)

Использование комбинации трех изученных функций - линейной, дробно-линейной и степенной - уже дает весьма эффективный инструмент для конформного отображения достаточно сложных областей. Рассмотрим, в частности, действия с помощью знаменитой функции Жуковского, которая нашла применение в аэродинамике для определения оптимальной формы элементов самолета.

Конформные отображения c помощью показательной и логарифмической функций  (видеозанятие Д.В. Лосева)

Этим выпуском мы завершаем раздел, посвященный конформным преобразованиям с помощью элементарных функций. Видео рассказывает о свойствах и области предназначения показательной и логарифмической функций. Может появиться мысль, что не все элементарные функции были рассмотрены, но, как показывают примеры, на самом деле остальные функции можно рассматривать как комбинацию уже известных: линейной, дробно-линейной, степенной, показательной и логарифмической.

Фильчаков П.Ф. Приближенные методы конформных отображений (отрывок)

Подробно разбираются конформные отображения с помощью элементарных функций, их свойства и примеры отбражений канонических областей (круг, полуплоскость и т.д.). В заключение обсуждаются вопросы существования функций, осуществляющих отображение заданных областей.

[Полный экземпляр книги здесь]

Пономарев О.Г., Пономарева В.Н. Практика конформных отображений (методичка)

Содержат краткое описание отображений, осуществляемых элементарными функциями, и задачи, которые наряду с ответами содержат указания, а некоторые - решения, иллюстрирующие применение основных методов. То, что нужно студенту для подготовки к контрольной работе № 1.

Конформные преобразования и фракталы (продолжение этого видео)

Показаны конформные преобразования с помощью элементарных функций: линейной, дробно-линейной, степенной, показательной. Кратко обсуждаются их свойства. Демонстрируется, как последовательное применение одного преобразования над точками комплексной плоскости приводит различным фрактальным изображениям.

В статье много чего намешано: мореплавание и карты, дифференциальные уравнения и конформные отображения, стереографическая проекция (сфера Римана) и секансы, локсодромы и спирали, медицина и поэзия, интегралы, логарифмы и различные исторические персонажи... Но читать интересно и познавательно.
Задача на конформное отображение (выступление Сергея Николаевича Мурашко, 2019 г.)
Оператор - Вячеслав Сергеевич Ким.
0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: