Авторский вывод формулы Эйлера

Знаменитую формулу Эйлера \large e^{iz}=cos{z}+isin{z} в современных учебниках выводят на основе сравнения рядов Тейлора

\large e^{z}=1+z+\frac{z^{2}}{2}+\frac{z^{3}}{6}+\frac{z^{4}}{24}+\frac{z^{5}}{120}+...,

\large cos{z}=1-\frac{z^{2}}{2}+\frac{z^{4}}{24}-...,

\large sin{z}=z-\frac{z^{3}}{6}+\frac{z^{5}}{120}-....

Изначальный вариант был более изощренным и базировался на формуле Муавра

\large (cos{z}\pm isin{z})^{n}=cos(nz)\pm isin(nz),

которая в таком виде и появилась впервые у Эйлера в его сочинении "Введение в анализ бесконечно малых" (1748 г.). Делая замену \large w=nz и выражая \large cos{w}, получаем

\large cos{w}=\frac{1}{2}[(cos({\frac{w}{n}})+isin({\frac{w}{n}}))^{n}+(cos({\frac{w}{n}})-isin({\frac{w}{n}}))^{n}].

Теперь, устремляя \large n\rightarrow \infty и, тем самым, принимая \large \frac{w}{n}\rightarrow 0\large cos({\frac{w}{n}})\approx 1\large sin({\frac{w}{n}})\approx\frac{w}{n}, имеем

\large cos{w}\rightarrow\frac{1}{2}[(1+\frac{iw}{n}))^{n}+(1-\frac{iw}{n}))^{n}].

Использование второго замечательного предела в форме \large (1+\frac{x}{n}))^{n}\rightarrow e^{x} немедленно приводит к формуле

\large cos{w}=\frac{1}{2}[e^{iw}+e^{-iw}].

Выполнение аналогичных операций для синуса дает \large sin{w}=\frac{1}{2i}[e^{iw}-e^{-iw}], откуда следуют и формулы \large e^{\pm iw}=cos{w}\pm isin{w}.

Источник - Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: