Вывод Лагранжа формулы Эйлера

Имеем тождество \large i(cos{x}+isin{x})=icos{x}-sin{x}.

Поделим на скобку в левой части, умножим на \large dx и проинтегрируем

\large i\int_{}^{} dx=\int_{}^{} \frac{icos{x}-sin{x}}{cos{x}+isin{x}}dx=\int_{}^{} \frac{d(cos{x}+isin{x})}{cos{x}+isin{x}},

\large \ln(cos{x}+isin{x})=ix+ \ln C.

Потенцируем

\large cos{x}+isin{x}=Ce^{ix}.

Для определения произвольной постоянной \large C положим в последнем равенстве \large x=0, получая \large C=1.

Итак,

\large cos{x}+isin{x}=e^{ix}.

[Математическое просвещение, 1937, выпуск 10.]

 

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: