Вывод Лагранжа формулы Эйлера

Имеем тождество $\large i(cos{x}+isin{x})=icos{x}-sin{x}$.

Поделим на скобку в левой части, умножим на $\large dx$ и проинтегрируем

$\large i\int_{}^{} dx=\int_{}^{} \frac{icos{x}-sin{x}}{cos{x}+isin{x}}dx=\int_{}^{} \frac{d(cos{x}+isin{x})}{cos{x}+isin{x}}$,

$\large \ln(cos{x}+isin{x})=ix+ \ln C$.

Потенцируем

$\large cos{x}+isin{x}=Ce^{ix}$.

Для определения произвольной постоянной $\large C$ положим в последнем равенстве $\large x=0$, получая $\large C=1$.

Итак,

$\large cos{x}+isin{x}=e^{ix}$.

[Математическое просвещение, 1937, выпуск 10.]