Примеры решения краевых задач методом разделения переменных

Решение одномерного волнового уравнения

Первое видеозанятие по решению дифференциальных уравнений с частными производными методом разделения переменных посвящено решению задачи Дирихле для однородного волнового уравнения.

\large c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}, \large u(o,t)=u(l,t)=0\large u(x,0)=0\large \left.\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial t}\end{matrix}\right|_{t=0}=\psi(x).

Запись произведена студентом Е.В. Матвиевским.

Для сравнения - решение примерно такого же уравнения в видеоролике.

Решение двумерного уравнения Лапласа

Второе занятие по решению дифференциальных уравнений с частными производными методом разделения переменных - решение двумерного уравнения Лапласа в полярной системе координат.

\large \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho\frac{\partial u}{\partial \rho})+\frac{1}{\rho^{2}}\frac{\partial^{2}u}{\partial \varphi^{2}}=0,

\large \left.\begin{matrix} u\end{matrix}\right|_ { \rho = 0}<\infty, \large \left.\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial\rho}\end{matrix}\right|_{ \rho = a}=Acos\varphi, \large u(\rho,\varphi)=u(\rho,\varphi+2\pi).

Запись произведена студентами Е.В. Матвиевским и В.С. Белых.

Решение неоднородного параболического уравнения

Третье занятие по решению дифференциальных уравнений с частными производными методом разделения переменных посвящено решению неоднородного параболического уравнения.

\large \frac{\partial u}{\partial t}-a^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=Q\delta(x-x_{0}), \large u(o,t)=\left.\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}\end{matrix}\right| _ {x=l}=0\large u(x,0)=A_{0} sin\frac{9\pi x}{2l} .

Запись произведена студентами Е.В. Матвиевским и В.С. Белых.

Д.В. Лосев, Д.С. Бардашов. Наиподробнейшие указания по решению дифференциальных уравнений с частными производными методом разделения переменных для слабоподготовленных, но стремящихся к знаниям студентов (mrp.pdf)

Попытка донести максимально просто и доступно алгоритм решения неоднородного уравнения с частными производными методом разделения переменных. Предложения по дальнейшему улучшению и замечания принимаются.

Смешанная задача на отрезке. Метод Фурье (видеозанятие)

Более сложная задача для уже разбирающихся в методе студентов. Обсуждается проблема избавления от неоднородностей в граничных условиях. Другие особенности решения: 1) неоднородная задача с неоднородными условиями решается сразу, без разделения на однородную и неоднородную части; 2) при решении обыкновенных дифференциальных уравнений используется метод неопределенных коэффициентов. Для слабонервных поясняю, что на контрольной будут более простые задачи (если, конечно, граждане Сивков и Тляпкулова будут себя прилично вести).

Консультация по уравнениям математической физики, третий курс МФТИ (видеозанятие)

Подробно разбираются задачи, предлагаемые на итоговой контрольной работе по уравнениям математической физики в МФТИ (норматив: 5 задач за 3 часа). Первые 2 задачи демонстрируют применение метода характеристик, вторая группа из 2 задач - решение методом разделения переменных параболического уравнения, уравнения Пуассона в полярной системе координат, следующие 2 задачи - решение волнового и параболического уравнений в трехмерной декартовой системе координат методом разложения в степенной ряд с подбором частных решений, последняя задача - решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода с вырожденным ядром. Преподаватель называет косинус гиперболический "чосинусом", а синус гиперболический - "шинусом".

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: