Уравнения математической физики

Структура раздела примерно соответствует изложению, принятому на радиофизическом факультете ТГУ.  В то же время сам материал этого раздела чаще всего не совпадает с лекционными и практическими занятиями, сообщая дополнительные сведения, позволяющие расширить восприятие предмета и дающие возможность взглянуть на проблему с другого ракурса.

Основные понятия и определения

Рассматриваются основные понятия и определения теории дифференциальных уравнений с частными производными (ДУсЧП): типы дифференциальных уранений, начальных и граничных условий, понятие общего и частного решений. Обсуждаются вопросы существования решения краевой задачи и его корректности.

ДУсЧП первого порядка

Этот тип уравнений находится в теории на особом положении, поскольку, в отличие от обыкновенных ДУ, решение уравнений высшего (в частности, второго) порядка предпочитают не сводить к уравнениям первого порядка (понижение порядка), а развивать теорию, отталкиваясь от метода Эйлера решения уравнений с постоянными коэффициентами. И хотя формально уравнения первого порядка к уравнениям математической физики не относятся, в этом разделе приводятся материалы, проливающие свет на этот раздел математики.

Свойства частных решений линейного ДУсЧП

Частные решения линейных ДУсЧП обладают рядом свойств, которые позволяют, не решая уравнение, получить его общее решение или подобрать требуемое решение, удовлетворяющее ДУ и краевым условиям.  Естественно, такая возможность сравнима с чудом, но для простейших задач использование этих свойств является наиболее прямым путем получения результата.

Общее решение и классификация линейного ДУсЧП

Обсуждаются проблемы структуры общего решения линейного ДУсЧП. Показывается, что аргумент произвольной функции помимо исходного уравнения должен удовлетворять уравнению характеристик. Рассматривается метод Эйлера, позволяющий легко получать общее решение для линейных ДУсЧП с постоянными коэффициентами. Особенности этого метода для различных уравнений позволяют провести классификацию линейных ДУсЧП.

Решение одномерного волнового уравнения

В качестве примера применения метода характеристик проводится решение одномерного волнового уравнения. Находятся общее решение уравнения, решение задачи Коши (формула Даламбера), решение в случае граничной задачи для полубесконечного и ограниченного интервалов.

Структура решения краевой задачи для линейного ДУсЧП

На основе приведения уравнения к самосопряженному виду и применения свойств многомерных дельта-функции и функции Грина находится структура решения произвольной краевой задачи для линейного ДУсЧП. Рассматриваются частные случаи для наиболее распространенных уравнений: уравнений Гельмгольца, Лапласа, волнового, параболического.

Составление ДУсЧП для некоторых физических задач

Рассматриваются различные подходы к математической формулировке реальных физических процессов в виде ДУсЧП. Примерами являются уравнения теории цепей с распределенными параметрами, система уравнений Максвелла, уравнения полупроводниковой электроники и уравнение Шредингера.

Метод интегральных преобразований

Обсуждаются вопросы применимости различных интегральных преобразований в зависимости от типа краевой задачи. Рассматриваются особенности метода  для уравнений гиперболического и параболического типа, как однородных, так и неоднородных.

Метод разделения переменных

Изучается общая схема метода при решении однородных и неоднородных ДУсЧП для различных типов краевых условий. Рассматриваются особенности постановки и решения краевых задач в декартовой, полярной, цилиндрической и сферической системах координат.

Примеры решения краевых задач методом разделения переменных

Приведено решение типичных задач, рассматриваемых на практических занятиях на радиофизическом факультете ТГУ.

Криволинейные координаты и специальные функции

Раздел посвящен изучению (повторению) свойств различных специальных функций, возникающих при разделении переменных в криволинейных системах координат.

Одномерные дельта-функция и функция Грина

Изучаются различные свойства дельта-функции Дирака и сопутствующих ей функций (функция Хевисайда, производные дельта-функции). Рассматриваются различные методы построения функции Грина для краевой задачи Штурма-Лиувилля.

Методы построения многомерной функции Грина

Обсуждается представление многомерной дельта-функции через одномерные в различных системах координат. Рассмотрены 3 метода построения двумерной функции Грина: метод интегральных преобразований, метод разделения переменных, метод контурного интеграла. Изложение иллюстрируется примерами простейших задач теории распространения волн (точечный источник в свободном пространстве, над идеально отражающей полуплоскостью, вблизи конического рефлектора).

Примеры построения многомерной функции Грина

Методы построения многомерной функции Грина иллюстрируются примерами простейших задач теории распространения волн (точечный источник в свободном пространстве, над идеально отражающей полуплоскостью, вблизи конического рефлектора).

 Численные методы решения ДУсЧП

Вообще говоря, численные методы решения ДУсЧП на занятиях по ММФ не рассматриваются, поскольку параллельно с этим курсом студенты изучают курс "Численные методы и математическое моделирование ". Поэтому материалы данного раздела предназначены для самостоятельного изучения.

0 комментариев

Еще нет комментариев.

Оставить ответ

%d bloggers like this: